「ん」で終わる言葉を言った男の子が負けたことから、二人は「しりとり」をしているとわかりました。

男の子の言葉は全て2文字のため、しりとりのつながりを考えると、上から「ほう」「いじ」「しん」だとわかります。
よって、これらをつなげて読むと、答えは「ほういじしん（方位磁針）」です。